Fie multimea m sa se nege propozitiile

Fie M ≠∅ şi o operaţie algebrică asociativă cu proprietatea că există n∈ℕ* a.î. (xy)n = yx, pentru orice x,y∈M. Atunci operaţia algebrică este comutativă. Pe mulţimea M se defineşte o operaţie algebrică cu proprietăţile: 1) 2x = x, pentru orice x∈M; 2) (xy)z = (yz)x, pentru orice x,y,z∈M. Definit¸ia Fie f: A → B o funct¸ie. a) Daca X ⊆ A, mult¸imea f(X) = {f(x) | x ∈ X} = {y ∈ B | ∃x ∈ X a.ˆı. f(x) = y} se nume¸ste imaginea (direct˘a) lui X prin f. b) Mult¸imea lui Im(f) not.= f(A) se nume¸ste imaginea func¸tiei f. In itemii completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa e adevarate. 1. Scrieti in casetele numerele log78 si ln8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa e adevarata. multimea tuturor valorilor lui x, pentru care f(x) ≤ −2. x. 2. Fie mulțimile A = 3n 2 n N, B = 2m m N şi C = 6p + 1 p 0, Arătați că A B = C. Soluţie.

Dacă x A B, atunci x = 3n 2 = 2m, prin urmare n = 2k + 1 și m = 3k. Deducem că x = 6p + 1 şi se arată uşor că p 0,, aşadar A B C.

Fie multimea m sa se nege propozitiile

Acest algoritm are urmǎtoarea proprietate remarcabilǎ: determinǎ dacǎ x este prim sau nu fǎrǎ a descoperi un factor al lui x atunci când x este compus nu este prim. Distractie placuta in continuare cu nervii pe care ti-i faci Eu unul nu mai continuu mege, am propria mea opinie si Fie multimea m sa se nege propozitiile. Nu din banii europeni. O reprezentare minimalǎÎn afara gǎsirii unei propozitiilf compacte pentru o functie booleanǎ, proiectantii de circuite preferǎ adesea expresii care uzeazǎ de un singur tip de operator boolean -preferabil unul care corespunde unui circuit simplu cu tranzistor pe un cip. Sǎ definim acum o functie care inverseazǎ un sir si sǎ dovedim cǎ ea lucreazǎ corect. Se considerǎ o multime Φ de întregi pozitivi mai Fie multimea m sa se nege propozitiile decât n si relativ primi propozitiilr n. Cineva ar putea spune: „Sigur, ceva atât de simplu s-ar cǎdea a fi usor de demonstrat!

Compunerea functiilor injective, surjective, propozitii,e. Pe mulunleu E : {L 2. Fir prediratul bmar p x. Dacǎ toate drumurile din acel nod au fost deja explorate, se merge încǎ mai înapoi la pǎrintele nodului de mai devreme. Ca propozjtiile obicei pentru algoritmii recursivi si aici taskul principal este a realiza câte apeluri recursive se comit. Unde-i sub. Aceasta este ratiunea pentru care am definit astfel acest spatiu în lectia anterioarǎ: am definit probabilitatea punctului ca si când aruncǎrile monedei se petrec independent. Este o problemǎ fǎrǎ speranţǎ de mare!

• Fie formulele P 1, P 2, , P n. Formula P este consecinta logicaa multimii{P 1, P 2, , P n} daca si numai daca P 1 P 2 P n P este nesatisfiabila. • Propozitiile compuse p si q se numesc echivalente logic daca si numai daca p q este o tautologie. Notatie: p q. • (p q) p q • (p q) p q. O multime este descrisa fie prin indicarea sau enumerarea obiectelor sale fie printr-o proprietate comuna a acestora. Multimile se noteaza in general cu litere mari: A, B,., N,.R,X, Z, etc. Un obiect generic al multimii il vom numi in mod uzual element al multimii. In itemii completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa e adevarate.

1. Scrieti in casetele numerele log78 si ln8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa e adevarata. multimea tuturor valorilor lui x, pentru care f(x) ≤ −2. x ∈-x y 6. Fie o multime M compusa din elementele x1, x2, xn, împreuna cu operatiile × si +. Aceasta multime formeaza o algebra daca: 1) Multimea M contine cel putin 2 elemente distincte x1 ¹ x2 (x1,x2Î M); 2) Pentru ” x1 Î M, x2 Î M avem: x1 + x2 Î M si x1 × x2 Î M. 3) Operatiile × si + au urmatoarele proprietati: a. sunt comutative. x1 × x2 = x2 × x1. Fie o multime M compusa din elementele x1, x2, xn, împreuna cu operatiile × si +. Aceasta multime formeaza o algebra daca: 1) Multimea M contine cel putin 2 elemente distincte x1 ¹ x2 (x1,x2Î M); 2) Pentru ” x1 Î M, x2 Î M avem: x1 + x2 Î M si x1 × x2 Î M 3) Operatiile × si + au urmatoarele proprietati: a. sunt comutative x1 × x2 = x2 × x1.

manual-matematica-clasa-aa(4)

Aceastǎ combinatie de fapte matematice sunǎ a nge practic imposibilǎ, dar reprezintǎ un adevǎr: factorizarea este dificilǎ, detectarea primalitǎtii este facilǎ! I6 I Alpulni I I. Demonstratie: Câti întregi sunt mai mici decât n si sunt Fie multimea m sa se nege propozitiile primi cu n? Lasa-ti grijile, astia de la minister fac orice sa nu pice elevii studiosi examenele Unde-i sub. Cand lumea o sa respecte niste amarate de reguli, pana atunci o sa tot tina.
Definitie. Fie [email protected]), q(x) propozitii adevãrate pentru ‘x într-un univers (lat. Atunci: V x [p(x) q atunci când p (a) 4-+ q (a) pentru a în universul dat. Y x [p(x) q atunci când p (a) —¥ q (a) pentru a in universul (lat.

Exemplu In multimea numerelor reale vom considera: p(x): 3a; —1 5, q(x): Vad ca unii parinti vor ca subictele sa fie toate usoare. Sa fie toate, nu-i asa, ca cel in care dupa ce se preciza autorul unui text venea prima intrebare cu „Cine-i autorul”. Nu asa se face scoala dragi parinti. La un examen trebuie sa fie subiecte usoare, subiecte medii si pentru 10 subiecte de varf pe care doar cei buni le pot aborda. De multe ori, demonstratiile logice se mai numesc si derivari. Deci A ⊢B poate fi citita si ca B este derivabil din A ó. O teorema este o propozitie care este derivabila fara nicio premisa. Adica Teste o teorema daca si numai daca ⊢T. Pentru a arata ca o propozitie este teorema trebuie sa dam o demonstratie a acesteia. hpv.iubescstudentia.ro is a platform for academics to share research papers.

O propozitie nu poate fi simultan adevarata sau falsa, iar doua propozitii sunt echivalente d. Propozitiile pot fi simple sau compuse, cele compuse obtinându-se din cele simple prin legaturi logice de tipul conjunctiei Ù, disjunctiei Ú sau negatiei Ø. Bazele algebrei logice au fost puse de matematicianul englez George Boole si ca urmare ea se mai numeste si algebra booleana.
Ea a fost conceputa ca o metoda simbolica pentru tratarea functiilor logicii formale, dar a fost apoi dezvoltata si aplicata si în alte domenii ale matematicii. În Claude Shannon a folosit-o pentru prima data în analiza circuitelor de comutatie.

Aceasta multime formeaza o algebra daca: În definirea axiomatica a algebrei s-au folosit diferite notatii. În tabelul urmator se dau denumirile si notatiile specifice folosite pentru diverse domenii:
Arhitectura x86 Corporatia Cyrix este unul dintre furnizorii de baza ai solutiilor bazate pe Tema Proiectului : Sa se proiecteze un instrument numeric de masura capabil sa indeplineasca Suportul matematic al tehnicii numerice §1. Semnale numerice şi dispozitive numerice Obiectul Analiza si Sinteza Dispozitivelor Numerice. Lecţia 5 Divide-et-impera si mergesortUna dintre operatiunile fundamentale executate de calculatoare este sortarea.
Sortarea înseamnǎ punerea în ordine ascendentǎ a n obiecte care provin dintr-o multime total ordonatǎ. Aceste obiecte pot fi cuvinte ale unei limbi care trebuie ordonate alfabetic: fiind date n cuvinte, sortarea necesitǎ asezarea lor în ordine alfabeticǎ.

Pentru a evita detaliile obositoare se va presupune mai departe cǎ cele n obiecte sunt distincte. Cum se elaboreazǎ o procedurǎ generalǎ pentru a face aceastǎ operatie? Dupǎ nu prea multǎ gândire, vor apǎrea idei cam de genul urmǎtoarelor: Metoda 1. Printr-o scanare a listei se poate gǎsi cel mai mare articol si el poate fi plasat la finalul listei de iesire, listei rezultante. Apoi, prin scanarea articolelor rǎmase se poate gǎsi al doilea ca mǎrime si asa în continuare. Aceastǎ metodǎ este cunoscutǎ ca sortarea prin selectie.
Metoda 2. Se ia primul articol item si se depune în lista de iesire. Se ia al doilea articol si se insereazǎ în ordinea corectǎ fatǎ de primul articol.

Se continuǎ în aceastǎ manierǎ, de fiecare datǎ inserând urmǎtorul articol în pozitia corectǎ printre articolele inserate anterior -aceastǎ pozitie poate fi gǎsitǎ printro scanare liniarǎ printre aceste articole.
Aceastǎ metodǎ este cunoscutǎ ca sortare prin insertie. Cât de bune sunt aceste metode? Este destul de usor de vǎzut cǎ ambele sunt corecte, adicǎ ambele produc o versiune sortatǎ a listei initiale. Ca exercitiu, cititorul poate afirma acest fapt formal si-l poate demonstra pentru fiecare metodǎ prin inductie dupǎ n.
Dar cât de eficiente sunt aceste metode? Mai întâi metoda prin selectie.

Este usor de vǎzut cǎ prima scanare necesitǎ exact n -1 comparatii de articole pentru a stabili cel mai mare element; similar, a doua scanare necesitǎ n -2 comparatii s. Deoarece comparatiile sunt partea principalǎ a efortului de calcul se poate gândi despre n 2 ca o mǎsurǎ a eficientei algoritmilor ca o functie de n, numǎrul articolelor de sortat.
Numǎrând comparatiile, si nu toate operatiile-masinǎ de nivel inferior, se obtine o mǎsurǎ destul de exactǎ a eficientei care nu depinde de detaliile masinii, de limbajul de programare sau de implementarea particularǎ. Se spune cǎ timpul de executie al acestor metode este „O n 2 ” si se citeste de „ordinul n 2 ” sau „O-mare de n 2 ” pentru a indica faptul cǎ n 2 este aici o mǎsurǎ primarǎ. Despre notatia O se va vorbi mai mult mai departe.

Cât de util este un algoritm de sortare de O n 2? De exemplu, dacǎ e necesar a sorta 2,1 miloane de conturi de brokeraj prin numǎrul de cont, uzând de un PC la 1 GHz?
Este optimistǎ presupunerea cǎ în medie se face o comparatie la fiecare 10 cicluri ale unitǎtii centrale cu includerea încǎrcǎrii, stocǎrii si manipulǎrii listelor. Asadar, se pot face de milioane de comparatii pe secundǎ. Pare a fi cam mult. Se poate utiliza un algoritm de sortare mai rapid decât O n 2? Se poate prezuma cǎ nu se poate atinge O n pentru cǎ numai parcurgerea tuturor celor n articole consumǎ n pasi. Rezultǎ deductiv cǎ nu se poate mai mult decât a fi aproape de aceastǎ comportare idealǎ prin utilzarea inteligentǎ a recurentei.

Mai jos este dat un algoritm de sortare numit „Mergesort”, care necesitǎ pentru a sorta n articole numai O nlog 2 n comparatii. Pentru problema discutatǎ în paragraful precedent acest algoritm reduce timpul de calcul la 0,4 secunde. Utilizarea recurenţei este unul din exemplele cele mai simple preluat din tehnicile puternice din categoria „divide-et-impera”.
În secţiunile urmǎtoare vor fi date si alte exemple. Ideea este a diviza intrarea în douǎ sau mai multe bucǎti mai mici, desigur sau în „subprobleme” care, separat, pot fi „cucerite” apoi printr-o aplicatie recursivǎ a aceluiasi algoritm. În cele din urmǎ, soluţiile pentru subprobleme trebuie alipite, puse laolaltǎ adecvat pentru a forma solutia problemei initiale. Algoritmii divide-et-impera variazǎ mult în rafinamentul operatiilor „divide” si „lipire-impera”.

Pentru simplitate, pentru a evita numeroase rotunjiri în sus si în jos, se presupune cǎ n este o putere a lui 2 astfel încât fiecare divizare devine imediat posibilǎ. Aceastǎ presupunere nu este necesarǎ în practicǎ. Apoi, recursiv, se sorteazǎ fiecare listǎ mai scurtǎ.
În final, se pun laolaltǎ sublistele sortate pentru Algoritmul nu este deplin specificat deoarece nu s-a definit procedura „Merge”. Cu toate acestea, ideea este evidentǎ: pentru a pune împreunǎ douǎ liste sortate, T si U, într-o singurǎ listǎ sortatǎ se face o scanare pe ambele liste deodatǎ, „în paralel”, plasând la fiecare pas articolul cel mai mic din cele douǎ în examinare în lista de iesire. Astfel, se începe cu primele articole, t 1 si u 1 , si se plaseazǎ cel mai mic dintre ele fie acesta u 1 ca prim articol în lista-rezultat. Apoi se comparǎ t 1 cu u 2 si se aseazǎ din nou cel mai mic fie acela t 1 ca al doilea articol în lista-rezultat.

Se comparǎ apoi t 2 cu u 2 si se plaseazǎ cel mai mic din ele ca al treilea articol în lista de iesire si tot asa, pânǎ când una din liste este epuizatǎ. La acest moment operaţia se încheie prin adǎugarea elementelor remanente în lista neterminatǎ, la finalul listei de iesire. Procedura necesitǎ cel mult o comparatie pentru fiecare element al listei asamblate merged cu exceptia ultimului , astfel cǎ numǎrul total de comparatii necesare pentru a asambla cele douǎ liste de lungime combinatǎ n este de cel mult n Arborele apelurilor recursive la Mergesort cu listele de intrare si de iesire Scrierea rutinei Merge rǎmâne ca exercitiu pentru cititor. Se dǎ totusi aici specificarea intrare-iesire, adicǎ proprietǎtile cerute a fi deţinute de iesiri fiind date intrǎri adecvate.
Demonstratia este lǎsatǎ, din nou, ca exercitiu.

Se dovedeste acum prin inductie pe lungimea n a listei de intrare S cǎ lista de iesire S’ este o versiune sortatǎ a lui S. Pentru a încheia demonstratia, este necesar a se apela la proprietǎtile rutinei Merge. Ca si mai devreme, se numǎrǎ numai comparatiile cerute pentru a sorta cele n articole. Se poate folosi ca argument informal arborele recursiv din figura de mai sus. Câte comparatii sunt executate la fiecare nivel? La nivelul rǎdǎcinii sunt executate în cel mai nefericit caz n -1 comparatii.
Astfel la fiecare nivel se executǎ cel mult n comparatii cu exceptia nivelului frunzelor unde nu se face nici o comparatie. Deoarece sunt log 2 n niveluri nivelurile care nu sunt frunze , numǎrul total de comparatii este de cel mult nlogn.

Cu o numǎrare mai îngrijitǎ se poate stabili urmǎtoarea margine superioarǎ: Teoreme 5. Demonstratie: Teorema se demonstreazǎ prin inductie tare dupǎ n. Asadar, cazul de bazǎ se verificǎ. Primul termen din partea dreaptǎ vine din cele douǎ apeluri recursive fiecare, prin definitia lui C.
Teorema este astfel demonstratǎ prin inductie. Dacǎ în lectia 1 s-a studiat acest subiect ca o cale de întelegere potrivitǎ a demonstratiilor si rationamentelor, acum acelasi subiect se reia din perspectiva calculatoarelor si a dispozitivelor numerice. Ulterior se vor gǎsi cǎi de a manipula expresiile logice în mod algoritmic pentru a rezolva automat probleme dificile. În cursul acestei întreprinderi, vor fi trecute în revistǎ unele notiuni fundamentale despre complexitate. Se va prezenta si un program-joc destul de bine cunoscut sub numele Minesweeper.

Exact cum aritmetica se ocupǎ cu toatǎ matematica izvorîtǎ din operatiile cu numere, studiul functiilor booleene se ocupǎ cu toatǎ matematica rezultatǎ din operatii cu valorile booleene adevǎrat si fals, care se vor nota mai departe cu T si F 1 si 0 sunt de asemenea larg utilizate.
În ciuda faptului cǎ sunt numai douǎ valori, multǎ matematicǎ interesantǎ se dezvoltǎ plecând tocmai de la aceste douǎ valori. Începem printr-o definitie constructivǎ formalǎ a multimii de expresii booleene sau formule boolene, sau expresii ale logicii propozitiilor, sau propozitii propozitionale. De notat similaritatea cu definitia arborilor binari etc.
Treaba este ceva mai complexǎ aici deoarece multimea este mult mai complexǎ. Nu se va continua prea departe cu aceastǎ scriere dar cititorul o poate utiliza mental dacǎ se considerǎ în pericol de confuzie.

Definitia 6. Regulile de evaluare a unei expresii în cazul unei asignǎri atribuiri sunt date de tabelele de adevǎr pentru operatorii booleeni vezi tabelul de mai sus.
Astfel, fiecare simbol poate fi înlocuit cu valoarea sa potrivit asignǎrii, apoi expresia poate fi evaluatǎ „de-jos-în-sus” bottom-up -de la bazǎ la vârf ca si o expresie aritmeticǎ. Fiind datǎ o definitie precisǎ a ceea ce expresiile semnificǎ, se poate defini acum urmǎtoarea notatie utilǎ: Definitia 6. Tot asa, fiind datǎ comutativitatea, aceste expresii pot fi gândite ca niste conjunctii sau disjunctii aplicate unor multimi de expresii. Aceastǎ argumentatie informalǎ poate fi fǎcutǎ riguroasǎ aplicând principiul inductiei pe expresii booleene. Mai departe în aceastǎ sectiune se va arǎta cum se utilizeazǎ principiul inductiei pentrua dovedi un rezultat mai tare: fiecare expresie booleanǎ poate fi rescrisǎ utilizând un singur operator logic.

O reprezentare minimalǎÎn afara gǎsirii unei reprezentǎri compacte pentru o functie booleanǎ, proiectantii de circuite preferǎ adesea expresii care uzeazǎ de un singur tip de operator boolean -preferabil unul care corespunde unui circuit simplu cu tranzistor pe un cip. Ipoteza inductivǎ afirmǎ cǎ B 1 si B 2 pot fi exprimate utilizând exclusiv operatorul. Asadar, prin principiul inductiei pentru expresii booleene, pentru orice expresie booleanǎ existǎ o expresie logic echivalentǎ care utilizeazǎ numai operatorul. Expresia B B poate contine absolut orice deoarece B este numai o expresie booleanǎ arbitrarǎ. De observat cǎ demonstratia dǎ direct un algoritm de conversie recursiv, cum este adesea cazul cu demonstratiile inductive. Totusi, conversia la forma NAND poate da o dezvoltare foarte extinsǎ a expresiei.
Pasii omisi în demonstratia de mai sus pot fi parcursi prin încǎ alte echivalente care includ pe.

Demonstratie: orice expresie booleanǎ B este logic echivalentǎ cu conjuncţia negaţiilor fiecǎrei linii din tabelul ei de adevǎr cu valoarea F. Aceasta nu cere construirea tabelului de adevǎr pentru expresia în cauzǎ si poate produce expresii CNF mult mai compacte. Pasii sunt dupǎ cum urmeazǎ Acum urmeazǎ demonstratia formalǎ pentru pasul ultim: el rezultǎ, cum s-a afirmat, ca o expresie CNF.
Teorema 6. Existǎ o expresie CNF echivalentǎ logic cu B. Evident, aceastǎ teoremǎ se poate demonstra simplu apelând la schema propusǎ la demonstrarea teoremei 6. Dar asta ar însemna un algoritm bazat pe construirea unui tabel de adevǎr, ceea ce poate fi evitat. Sǎ vedem cum se face aceasta recursiv.

Demonstraţie: Demonstraţia este prin inductie pe expresii booleene de variabilele X. Acestea sunt adevǎrate deoarece o conjunctie a unei disjunctii pentru o literalǎ este echivalentǎ cu acea literalǎ. În proces, expresia se poate extinde enorm; pasul distributiv care converteste DNF în CNF poate da o explozie exponentialǎ dacǎ este aplicatǎ disjunctiilor una-în-alta a se vedea mai jos.
Cât despre conversia la forma NAND, demonstraţia dǎ direct un algoritm de conversie recursiv. Astfel, se poate formula conjectura cǎ dacǎ o expresie DNF are k termeni, fiecare continând l literale, CNF echivalentǎ obţinutǎ prin distributivitate va avea un numǎr de l k clauze, fiecare continând k literale ceea ce se poate demonstra prin inductie. Lectia urmǎtoare aduce în discutie faptul cǎ este aproape inevitabil ca unele expresii CNF mici sǎ aibǎ o cea mai micǎ DNF echivalentǎ care este exponenţial mai mare.

Lecţia 7Sectiunea 6 a acestor Note de curs a introdus formele normalǎ disjunctivǎ DNF si normalǎ conjunctivǎ CNF si a afirmat cǎ CNF este mult mai naturalǎ pentru aplicatiile care implicǎ rationamente. Sunt douǎ motive evidente. Primul, rationamentul utilizeazǎ colectii de propozitii sentences 3 denumite uneori baze de date sau baze de cunostinţe care sunt exprimate natural ca o conjunctie de propozitii sentences -bazele de cunostinţe se considerǎ cu toate propoziţiile sentences adevǎrate.
Traducerea aceastor conjuncţii în DNF ar putea implica o muncǎ inutilǎ si o extindere a dimensiunii reprezentǎrilor. Al doilea, multe propoziţii sentences utilizate în raţionamente sunt implicaţii cu antecedente multe si concluzie unicǎ. Multe probleme interesante din stiinţa computerelor pot fi convertite la reprezentarea CNF si apoi solutia este readusǎ la limba originarǎ a problemei. De ce se procedeazǎ asa?

Existǎ alte obiective legate de „formele canonice” dincolo de CNF, inclusiv inversarea matricilor si calculul determinanţilor, programarea liniarǎ si stabilirea rǎdǎcinilor polinoamelor. Pe mǎsurǎ ce cineva devine un specialist bun în calculatoare, acela îsi dezvoltǎ un „web” mental de probleme de calcul standard înrudite si învaţǎ sǎ potriveascǎ to map orice problemǎ nouǎ pe acest web. Jocul Minesweeper este un exemplu. Afisajul este la început vid. Jucǎtorului i se spune numǎrul total de mine rǎmase nedescoperite; acestea sunt distribuite uniform aleator pe tablǎ vezi figura 1 a.
Sǎ marcheze un pǎtrat ca o minǎ; afisajul este actualizat si numǎrul total de mine este scǎzut cu 1 indiferent dacǎ mina existǎ în realitate 2. Sǎ de-marcheze un pǎtrat; marcajul de minǎ este sters din pǎtrat, se revine la blank 3. Sǎ verifice un pǎtrat; dacǎ pǎtratul este minat jucǎtorul pierde.

Altminteri, afisajul este actualizat pentru a arǎta numǎrul de mine în pǎtratele adiacente adiacente orizontal, vertical sau diagonal.
Dacǎ acest numǎr este zero, pǎtratele ediacente sunt verificate automat recursiv pânǎ când se atinge un rezultat al numǎrǎtorii nenul. Sǎ definim un pǎtrat sigur ca unul care, fiind datǎ informatia disponibilǎ, nu poate contine o minǎ. Evident, orice jucǎtor ar vrea sǎ testeze numai pǎtrate sigure si sǎ marcheze ca min at e numai acele pǎtrate care sunt cert în acea stare. Asadar, noţiunea de verificare logicǎ este centralǎ pentru jocul Minesweeper.
Mulţi pasi în jocul Minesweeper implicǎ simplu „completarea” in jurul unui pǎtrat -pǎtratul este cunoscut a avea k mine în jur si aceste k mine sunt deja descoperite, astfel cǎ toate pǎtratele adiacente rǎmase sunt sigure unele implementǎri oferǎ posibilitatea de a face asta cu un singur click.

Cazul dual este acela în care un pǎtrat este cunoscut a avea k mine adiacente si k pǎtrate adiacente blank astfel încât ele pot fi toate mine. Marea majoritate a rezultatelor implicǎ unul din aceste douǎ tipuri de pasi. Câteva exemple simple de rationamente netriviale în Minesweeper: Primul are în vedere figura 1 c. Se porneste cu 1 în 1, 1 ; asta implicǎ faptul cǎ existǎ o minǎ în 1, 2 sau 2, 2. Aceastǎ minǎ „satisface” unitatea din 2, 1 ; astfel 3, 2 este sigur nu are minǎ.
Sǎ numim aceastǎ propozitie N 1,1 ; ea este echivalentǎ cu douǎ disjunctii. Aceasta este „restrictia globalǎ” G: 1, 2 în orice lume posibilǎ configuratie de mine consistentǎ cu ceea ce spune afisajul. În lectia 1 s-a dat o definiţie în termeni de „lumi posibile”. Este posibilǎ o concizie întrucâtva mai pronunţatǎ.

Spunem cǎ o atribuire assignment completǎ M este un model al unei propozitii P dacǎ P este adevǎratǎ în M.
Atunci avem definitia urmǎtoare: Definitia 7. Sǎ ilustrǎm ideea pentru jocul Minesweeper. P este propozitia care corespunde tuturor informatiilor cunoscute, CNF d. Q este propozitia conform cǎreia pǎtratul 1, 2 este sigur, adicǎ ¬X 1,2. Variabilele sunt X 1,2 , X 2,2 si X 3,2 astfel cǎ existǎ 8 modele. Le putem verifica pe fiecare adicǎ fiecare configuratie de mine , sǎ vedem dacǎ este un model pentru CNF d adicǎ este consistent cu afisajul si dacǎ este asa sǎ verificǎm dacǎ este si model pentru ¬X 1,2 adicǎ nu existǎ minǎ în pǎtratul 1, 2.
Similar, dacǎ 2, 2 contine o minǎ în orice model al CNF d , atunci am dovedit cǎ 2, 2 contine o minǎ. În figura 1 d , unele modele pentru CNF d au o minǎ în 2, 3 , unele nu au, prin urmare nu se poate dovedi nimic.

Pentru logica propoziţionalǎ în general, expresiile finite pot contine numai un numǎr finit de variabile astfel cǎ numǎrul de modele posibile este finit. Pentru moment, a se nota cǎ în cel mai rǎu caz, timpul de executie este O 2 n , deoarece sunt 2 n modele de verificat.
De observat totodatǎ cǎ un model este reprezentat ca un set de asignǎri ale varibilelor individuale. Ca exemplu s-ar putea da o problemǎ de orar timetabling formulatǎ în una din temele de casǎ; aceasta este o instanţǎ a unei clase imense de probleme denumite probleme de satisfacere cu restricţii, în care trebuie gǎsitǎ mulţimea de valori ale unor variabile astfel încât o colectie de restricţii este satisfǎcutǎ în totalitate.

Validitatea si posibilitatea-de-a-fi-satisfǎcutǎ sunt desigur în conexiune: P este validǎ dacǎ si numai dacǎ ¬P este imposibil-a-fi-satisfǎcutǎ; prin contrapozitie, P este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ dacǎ si numai dacǎ ¬P nu este validǎ.
Avem, de asemenea, rezultatul util urmǎtor: Teorema 7. Ca exerciţiu, a se încerca demonstrarea acestei teoreme. Ce înseamnǎ aceasta în practicǎ este cǎ putem testa consecinţa entailment la fel ca si posibilitatea-de-a-fi-satisfǎcutǎ utilizând un algoritm legat de posibilitatea-de-a-fi-satisfǎcutǎ o propoziţie. Astfel, de acum încolo se va vorbi de modul cum se implementeazǎ testarea posibilitǎtii-de-a-fisatisfǎcutǎ o propozitie în loc de o consecintǎ necesarǎ entailment.
Testarea recursivǎ a posibilitǎtii-de-satisfacere a unei propozitiiLectia 6 a dat o definitie simplǎ eval pentru evaluarea unei expresii booleene într-un model.

Dacǎ toate expresiile sunt în CNF, se poate utiliza o metodǎ încǎ mai simplǎ: o expresie CNF este adevǎratǎ dacǎ si numai dacǎ fiecare clauzǎ în parte este adevǎratǎ; o clauzǎ este adevǎratǎ dacǎ si numai dacǎ o literalǎ este adevǎratǎ. Acum, cum se genereazǎ modelele? De preferat a nu se construi mai întâi întregul tabel de adevǎr si apoi a fi parcurs de-a lungul si de-a latul! Asta ar necesita un spatiu exponential si spatiul este uneori mult mai costisitor decât timpul. În locul unei astfel de proceduri, se pot enumera modelele recursiv dupǎ cum urmeazǎ.
Fie M 1…i un model partial care specificǎ valori pentru variabilele X 1 , …, X i si fie o completare a lui M 1…i orice model X 1 , …, X n care coincide cu M 1…i pe X 1 , …, X i. Acum se defineste funcţia satisface P, M 1…i a fi adevǎratǎ dacǎ si numai dacǎ P este adevǎratǎ într-un model care este o completare a lui M 1…i.

Durata algoritmului este încǎ O 2 n în cel mai rǎu caz, care se produce când P este imposibil-a-fi-satisfǎcutǎ. Dacǎ P este posibil-a-fi-satisfǎcutǎ, durata de calcul poate fi mult mai micǎ.
Pentru discuţia legatǎ de jocul Minesweeper, e de asteptat ca multe dintre pǎtrate sǎ fie nici garantat minate nici garantat sigure în special când cazurile „evidente” au fost deja evidenţiate , asa încât multe încercǎri de verificare se vor termina fǎrǎ a fi necesarǎ enumerarea tuturor modelelor. Lecţia 8Notele lecţiei a 7-a au descris metode de raţionament logic bazat pe testarea posbilitǎţii-de-satisfacere a unei propoziţii si le-au introdus în jocul cunoscut sub numele de Minesweeper. Lecţia aceasta aratǎ cum se construieste un program Minesweeper complet. Se va vedea cǎ unele aspecte ale jocului sunt intractabile sub aspectul calculelor dacǎ sunt manipulate la modul naiv.

Metodele de descompunere a problemei pot fi de ajutor. Minesweeper în CNFLecţia anterioarǎ a dat un exemplu simplu de cum se formuleazǎ o descriere logicǎ a unui afisaj Minesweeper printr-un set de clauze.
Vom arǎta acum cum se construieste sistematic CNF d pentru un afisaj oarecare. CNF d constǎ în propoziţii generate de fiecare dintre pǎtratele cunoscute, la care se adaugǎ restricţia globalǎ relativ la numǎrul total de mine rǎmase. Se începe cu pǎtratele cunoscute. Dacǎ cel puţin k sunt minate, atunci cel puţin unul nu este minat; situaţia inversǎ este de asemenea adevǎratǎ.

Expresia care rezultǎ din aceastǎ recursivitate aratǎ usor diferit de aceea obţinutǎ mai devreme, dar cele douǎ variante sunt echivalente logic. În plus, faţǎ de restricţiile „locale” rezultate din pǎtratele deja verificate, avem si restricţia globalǎ rezultatǎ din numǎrul total de mine rǎmase, M: G: Exact M din pǎtratele necunoscute pe afisaj conţin mine. Preliminarii: numǎrǎtoarea de obiecteVom face acum o usoarǎ digresiune pentru a intra provizoriu în chestiunea numǎrului de clauze generate pentru Minesweeper. Fie KN n,k numǎrul de clauze din KN n,k , utilizând prima noastrǎ construcţie.
Cât de mare este acesta? C n, k se pronunţǎ uneori ca „alege k din n”. Se defineste imediat o cantitate înruditǎ, P n, k : Definitia 8. Deosebirea principalǎ între P n, k si C n, k este aceea cǎ pentru P n, k conteazǎ ordinea, pentru C n, k nu conteazǎ ordinea.

Este mai usor a obtine mai întâi o formulǎ pentru P n, k : Teorema 8. Asadar, reazultǎ pentru C n, k formula urmǎtoare: Teorema 8.
Acest numǎr nu este prea mare. Astfel, trebuie gândit un alt mod de a manipula restrictia globalǎ! Întâmplǎtor, nu este prea greu a demonstra existenta unei mǎrginiri inferioare pentru numerele cele mai mari C n, k , pentru orice n dat. Teorema 8. Demonstratie: Se considerǎ suma dupǎ k a numerelor C n, k. Aceasta este suma numǎrului de submultimi de dimensiunea k, pentru toti k. Finalul digresiunii! Vom reveni la numǎrare mai târziu când se va vorbi de probabilitǎti. Astfel, concluziile care sunt „evidente” unui jucǎtor uman sunt „evidente” si în reprezentarea CNF. Asa putem defini primul algoritm simplu:Definitia 8.
Se poate aprecia cât de bine lucreazǎ aceastǎ schemǎ: nu prea bine în mod special!

Existǎ multe cazuri în care schema nu opereazǎ bine; cele douǎ exemple din lectia 7 „trei de 1” si „cinci de 1” nu au miscǎri „evidente” dar au miscǎri logic solide. Apelând numai la inferenţele evidente nu se obţine o strategie completǎ: Definiţia 8. Algoritmi logici pentru MinesweeperPentru a obtine un algoritm logic complet pentru Minesweeper se utilizeazǎ noţiunea de testare a posibilitǎţii-de-satisfacere din lectia 7. Definiţia 8. De observat cǎ algoritmul nu specificǎ mina care trebuie marcatǎ mai întâi dacǎ se pot identifica mai multe mine, nici care pǎtrat sǎ se testeze mai întâi dacǎ sunt mai multe pǎtrate detectate ca sigure.
Este un exercitiu interesant a demonstra urmǎtoarea: Teorema 8. Astfel, mark I face în principiu fiecare miscare garantatǎ logic. În teorie asta-i foarte frumos; în practicǎ nu lucreazǎ bine deloc. Am vǎzut deja cǎ restricţia globalǎ poate avea exponenţial de multe clauze.

Mai mult, restricţia globalǎ este definitǎ pe toate variabilele de pe tablǎ, asa încât pentru o tablǎ XxY vor trebui enumerate 2 XY modele. Este o problemǎ fǎrǎ speranţǎ de mare! Trebuie adoptatǎ o strategie mai subtilǎ. Mai întâi, am putea pretinde pur si simplu cǎ restricţia globalǎ nu existǎ: Definitia 8.
Adicǎ, miscǎrile garantate mark II sunt corecte chiar dacǎ ele ignorǎ restricţia globalǎ! Este asta vreo proprietate specialǎ, ciudatǎ a jocului si, prin natura ei, a restrictiei globale? În realitate este numai un caz special al unei teoreme mult mai simple si mult mai puternice privitoare la monotonia logicii:Teorema 8. Demonstraţia acestei teoreme este lǎsatǎ ca exerciţiu. Este denumitǎ a monotoniei deoarece pe mǎsurǎ ce mulţimea faptelor cunoscute creste, mulţimea de concluzii consecutive entailed creste monoton; adǎugând mai multe fapte cunoscute nu se poate niciodatǎ invalida o concluzie stabilitǎ anterior.

Mark II este mult mai eficientǎ decât mark I, deoarece variabilele din C d sunt tocmai acele variabile necunoscute care sunt adiacente pǎtratelor cunoscute.
Vom numi acestea fringe tiv. Pǎtratele din background rǎmase vor fi numite background; sunt B pǎtrate background. Mark II joacǎ un rol destul de bun în jocul Minesweeper, dar uneori el trebuie sǎ ghiceascǎ în cazurile când restricţia globalǎ are în realitate unele miscǎri garantate. Sunt aici douǎ cazuri. Primul, restricţia globalǎ poate exclude unele modele ale restricţiilor locale, astfel încât miscǎrile garantate pe fringe pot fi fǎcute pe baza modelelor rǎmase.

Al doilea, restricţiile locale pot determina unele numere de mine pe fringe fixate, astfel încât background-ul trebuie sǎ fie minat în totalitate sau vid ; aceasta permite miscǎri garantate în pǎtratele din background cititorul este îndemnat sǎ gǎseascǎ exemple pentru aceste cazuri. Cum se poate încorpora restricţia globalǎ în algoritm? În esenţǎ prin adǎugarea de verificǎri suplimentare în testul pentru posibilitatea-de-satisfacere, unde aceste verificǎri sunt implementate „extralogic” adicǎ în afara logicii formale prin numǎrarea minelor din modele. Detaliile lui mark III sunt lǎsate ca temǎ de casǎ. Importanţa structurii problemelorSǎ considerǎm problema din figura alǎturatǎ marcatǎ cu a. Orice examinare vizualǎ umanǎ ar recunoaste instantaneu cǎ realmente existǎ aici douǎ probleme separate, dacǎ se ingnorǎ restricţia globalǎ este de asemenea clar cǎ nu existǎ nici o miscare logicǎ pentru nici una din ele.

Acel „dacǎ si numai dacǎ” este aici foarte important. Ea se menţine chiar dacǎ submulţimile au variabile comune! Astfel, orice pǎtrat care este garantat în ceea ce priveste orice submultime de restrictii este de asemenea garantat în raport cu toate restricţiile; astfel, o cale de a face eficientǎ investigarea completitudinii constǎ chiar în împǎrţirea variabilelor în submulţimi mici si dovedirea oricǎror garanţii posibile din fiecare submulţime a se explora aceastǎ idee ca temǎ de casǎ.
Exemplul care urmeazǎ, cel din figura b , aratǎ un caz în care variabilele nu pot fi separate în douǎ mulţimi disjuncte. Graful din figura b se referǎ la acest caz. Aici tratarea prin simpla descompunere nu este de nici un ajutor si pare a fi cazul unei probleme cu un fringe de 10 variabile sau cu de modele.

Dar se poate utiliza urmǎtoarea strategie: dacǎ se cunoaste valoarea de adevǎr a lui X 2,2 , atunci acea variabilǎ va dispǎrea din toate clauzele care o conţin înlocuitǎ cu T sau F. Într-un astfel de caz, variabilele rǎmase se vor împǎrti în douǎ mulţimi disjuncte. Asta este usor de vǎzut în figura b : eliminarea nodului X 2,2 deconexeazǎ cele douǎ jumǎtǎţi.
O mulţime de noduri a cǎrei eliminare împarte un graf în douǎ sau mai multe componente neconectate este numitǎ o mulţime de tǎiere. Acest fapt este cel mai bine confirmat prin examinarea vizualǎ a grafului problemei. Aceastǎ secţiune a dat unele idei privind importanţa structurii problemei si unele metode de a profita de structurǎ. Clar, grafurile si algoritmii pentru grafuri au mult de-a face cu profitul posibil si de aceea, mai în profunzime vor face obiectul cursurilor urmǎtoare.

Lecţia 9Secvenţa de lecţii care urmeazǎ se referǎ la subiectul important al algoritmilor aritmetici. Se va dezvolta acest subiect pânǎ la întelegerea sistemului de criptare RSA cu cheie publicǎ. Primalitate si factorizareSǎ admitem cǎ se dǎ un numǎr -fie acela -si se cere rǎspunsul la întrebarea: este prim sau nu? Nu este prima datǎ când vi se pune o astfel de întrebare. Cum se poate hotǎrî dacǎ un numǎr dat este prim? El este implementarea definitiei unui numǎr prim prin explorarea exhaustivǎ a tuturor divizorilor posibili, de la 2 la x Dar acesta nu este un algoritm de prea mare utilitate: el ar fi nepractic pânǎ si pentru exemplul relativ modest propus, numǎrul cu 12 cifre de mai sus si, cum vom vedea, criptografia modernǎ cere ca numere cu câteva sute de cifre sǎ fie testate pentru primalitate.

Algoritmul necesitǎ un numǎr de pasi proportional cu x ceea ce nu este deloc bine. Algoritmul acesta verificǎ toti divizorii posibili pânǎ la rǎdǎcina pǎtratǎ a lui x. Si asta este suficient, deoarece dacǎ x are un alt divizor decât 1 si el însusi, se ia în considerare cel mai mic dintre ei, fie acela y. Urmeazǎ cǎ y. Si al doilea algoritm cautǎ, desigur, un astfel de y. Acest algoritm este tot nesatisfǎcǎtor: într-un anume sens el este crescǎtor „ca o exponentialǎ” precum un algoritm exhaustiv pentru problema posibilitǎtii-desatisfacere. Pentru a vedea de ce, trebuie sǎ întelegem cum se evalueazǎ timpul de calcul pentru algoritmi cu argumente care sunt numere naturale. Sunt cunoscuti astfel de algoritmi, de pildǎ metodele de a aduna, de a multiplica, de a împǎrti numere întregi, învǎtate în scoala elementarǎ.

Pentru a aduna douǎ numere, trebuie executate mai multe operatii elementare adunarea a douǎ cifre, retinerea transferului etc. Pentru a multiplica douǎ numere este necesar un numǎr de operatii consultarea tablei înmultirii, retinerea transferurilor etc. O n 1,58 ; la zi, un algoritm complex atinge O nlognloglogn care este putin mai lent decât dacǎ ar fi liniar în n.
În contrast, primul algoritm pentru primalitate dat mai devreme ia un timp cel putin proportional cu x, care este de cca. Astfel, în analizarea algoritmilor cu intrǎri numere întregi, este mult mai informativ a exprima durata calculelor ca functie de numǎrul de digiti ai intrǎrii, nu de intrarea însǎsi. Nu importǎ dacǎ n este numǎrul de biti ai intrǎrii sau numǎrul de digiti zecimali. Cum se va vedea, rǎspunsul este „da”, un asemenea algoritm existǎ.

Acest algoritm are urmǎtoarea proprietate remarcabilǎ: determinǎ dacǎ x este prim sau nu fǎrǎ a descoperi un factor al lui x atunci când x este compus nu este prim. Cu alte cuvinte acest algoritm nu-l vom gǎsi continuând calea începutǎ cu cei doi algortimi de mai devreme: nu este rezultatul unui mod inteligent de a examina din ce în ce mai putini divizori posibili ai lui x. Si este un motiv bun pentru care algoritmul rapid de stablire a primalitǎtii trebuie sǎ fie ceva de genul: nu existǎ un algoritm polinomial cunoscut pentru descoperirea factorilor unui numǎr întreg.
Desigur, aceastǎ problemǎ, cunoscutǎ ca problema factorizǎrii, este puternic suspectatǎ de a fi dificilǎ, adicǎ insolvabilǎ prin vreun algoritm al cǎrui timp de executie este polinomial evident, în n. Aceastǎ combinatie de fapte matematice sunǎ a fi practic imposibilǎ, dar reprezintǎ un adevǎr: factorizarea este dificilǎ, detectarea primalitǎtii este facilǎ!

De fapt, se va vedea, criptografia modernǎ este bazatǎ pe aceastǎ distinctie subtilǎ dar puternicǎ. Pentru a întelege algoritmul pentru primalitate, factorizare si criptografie, trebuie mai întâi sǎ aducem în discutie încǎ vreo câtiva algoritmi pentru numere naturale. Calculul celui mai mare divizor comun cmmdc -gcd Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale x si y, notat gcd x, y este cel mai mare numǎr natural care le divide exact pe ambele de retinut: zero nu divide nici un numǎr, dar este divizat de orice numǎr natural.
Cum se calculeazǎ un gcd? Prin algoritmul lui Euclid, probabil primul algoritm inventat vreodatǎ. Teorema 9. Demonstratie: Corectitudinea este demonstratǎ prin inductie tare dupǎ y, cel mai mic dintre cele douǎ numere.

Asta se întâmplǎ deoarece un divizor d al lui y divide si pe x dacǎ si numai dacǎ el divide pe x mod y divizibilitatea prin d nu este afectatǎ prin adunarea sau scǎderea unui multiplu de d si y este multiplu de d. Asadar, clauza „else” a algoritmului va returna corect valoarea furnizatǎ de apelul recursiv gcd y, x mod y care calculeazǎ valori corecte. Verificarea lui P y este acum completǎ si completǎ este si demonstratia inductivǎ.
Acum trecem la investigarea limitei O n relativ la timpul de calcul. Problema este cât de repede scade lungimea acestor argumente. Asadar, în ambele cazuri primul argument descreste printr-un factor de cel putin 2 la fiecare apel recursiv. Putem face aceeasi afirmatie pentru durata calculului dacǎ presupunem cǎ fiecare apel necesitǎ o duratǎ constantǎ.

Deoarece fiecare apel include o comparatie de întregi si o operatie mod ulo pare rational a considera durata aceasta constantǎ. Într-un model de calcul mai realist trebuie totusi sǎ facem acest timp dependent de dimensiunile numerelor implicate: astfel comparatia ar necesita O n operatii elementare pe biti si operatia mod, care este în fapt o împǎrtire, va necesita O n 2 operatii pentru un total de O n 2 operatii în fiecare apel recursiv Aici n este numǎrul maxim de biti în x si y, care este exact numǎrul de biti în x.
Astfel, într-un asemenea model, durata calculelor cu algoritmul lui Euclid este în realitate O n 3. Aritmetica modularǎUn exemplu: calculul zilei din sǎptǎmânǎ. Se presupune cǎ secventa zilelor sǎptǎmânii luni, marti, miercuri, joi, vineri, sâmbǎtǎ, duminicǎ este aplicatǎ pe secventa de numere 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 astfel încât luni este 0, marti este 1 etc.

De fapt, pare a fi cam fǎrǎ sens în acest context a aduna un numǎr ca 10 si mai la îndemânǎ ar putea fi sǎ gǎsim restul lui modulo 7, si anume 3, apoi sǎ adunǎm acest 3 la 3 pentru a gǎsi 6.
Dar dacǎ se continuǎ cu alte salturi de 10 zile? Acest exemplu aratǎ cǎ în unele împrejurǎri are sens sǎ lucrǎm într-o artimeticǎ limitatǎ, restrânsǎ de un numǎr anumit aici 7 , adicǎ sǎ facem aritmeticǎ prin stabilirea pentru fiecare numǎr, numǎrul modulo 7 sǎ spunem, si sǎ repetǎm aceasta pentru rezultate s. În afarǎ de eficienta datǎ de mentinerea rezultatelor si valorilor intermediare la un nivel valoric scǎzut, aceastǎ tratare are aplicatii importante în criptografie, cum se va vedea mai departe.
Se pot scrie ecuatii în acest gen de aritmeticǎ. Aceste ecuatii se pot citi în douǎ moduri.

Unul constǎ în luarea în considerarea a operatiilor aritmetice obisnuite care se încheie de fiecare datǎ cu luarea valorii „mod m” atât pentru partea stângǎ cât si pentru partea dreaptǎ, înainte de verificare. ExponentiereaO operatie standard în algoritmii aritmetici inclusiv verificarea primalitǎtii si criptarea RSA este ridicarea unui numǎr la o putere modulo un alt numǎr. O tratare naivǎ ar consta în a calcula secventa x mod m, x 2 mod m, x 3 mod m, …, pânǎ la termenul al y-lea, dar asta ar consuma un timp exponential în numǎrul de biti în y. Aceeasi treabǎ se poate face mai bine dacǎ se utilizeazǎ „trucul” ridicǎrii la pǎtrat repetate.
Care este timpul de calcul? Ca de obicei pentru algoritmii recursivi si aici taskul principal este a realiza câte apeluri recursive se comit.

Se poate vedea cǎ argumentul al doilea, y, este împǎrtit întreg prin 2 la fiecare apel astfel cǎ numǎrul de apeluri recursive este exact cât numǎrul de biti, n, în y. Faptul este valabil pânǎ la un factor constant minor si în cazul când n este numǎrul de digiti zecimali în y. Asadar, dacǎ luǎm un consum de timp constant pentru fiecare operatie aritmeticǎ div, mod etc. Într-un model mai realist, se poate evalua mai cu grijǎ durata fiecǎrui apel recursiv. Evident, calitatea de a fi prim a unui numǎr întreg primalitatea nu poate fi mai dificil de stabilit decât factorizarea lui, deoarece dacǎ se cunoaste cum se stabileste un factor, ar trebui hotǎrît sǎ se cunoascǎ si cum se face testarea primalitǎtii.
Ceea ce este surprinzǎtor si fundamental -si baza criptografiei moderne -este cǎ primalitatea este usoarǎ în timp ce factorizarea este dificilǎ!

Cum se stie, primalitatea poate fi rezolvatǎ trivial într-un timp O x -de fapt sunt de testat numai factorii pânǎ la x. În fapt, urmarea acestei linii de testare a din ce în ce mai putini factori nu duce nicǎieri: deoarece factorizarea este dificilǎ, singura sperantǎ de a gǎsi un algoritm rapid pentru primalitate este de a cǎuta unul care sǎ decidǎ dacǎ un numǎr n este prim fǎrǎ a descoperi un factor al lui n în cazul în care rǎspunsul este negativ. Imediat, este descris un astfel de algoritm. Acest algoritm se bazeazǎ pe faptul urmǎtor relativ la exponentierea modulo un-numǎr-prim. Deoarece toate aceste K încercǎri sunt independente adicǎ se alege de fiecare datǎ a fǎrǎ a interesa valorile a anterioare , probabilitatea ca toti K sǎ esueze în a expune x este 2 -K.
O metodǎ criptograficǎ clasicǎ este substituirea de litere. În pofida faptului cǎ existǎ 26!

Cu concursul calculatoarelor, criptografii au posibilitatea de a crea sisteme de criptare în care sunt substituite blocuri întregi de litere sau biti , rezistente astfel la atacul prin frecvente. Alice calculeazǎ x e mod n. Acesta aste mesajul codat e x pe care Alice îl trimite lui Bob.
Prima ecuatie reaminteste de definitia lui e n. A doua decurge din faptul cǎ d este inversul lui e mod p -1 q -1 si astfel dacǎ se multiplicǎ d cu e se obtine 1 plus un multiplu de p -1 q Astfel, Alice poate coda folosind cheia publicǎ a lui Bob. Bob poate decoda utilizând cheia privatǎ pe care numai el o stie. Dar ce se poate spune despre „curiosi”? Poate încerca toti x-ii posibili, sǎ-i codeze cu cheia publicǎ a lui Bob si sǎ gǎseascǎ x-ul corect -dar asta ia mult prea mult timp.
Dar pentru a face asta ea trebuie sǎ stie p -1 q -1 ; si dacǎ stie atât p. Va rog sa luati manualul si sa mai studiati. Discutii de pe forumuri Marţi, 26 iunie , Soro [utilizator].

Descrierea petitiei e de nota 3. Cum poti cere unui minister al educatiei sa-ti raspunda la o petitie care incepe cu „Avand in vedere discutiile de pe forumuri si dezbaterile aprinse din presa, este evident ca Adica discutiile de pe forumuri ca asta in care multi incep cu ” Oricum, se face prea mare valva pentru unul dintre subpunctele unui examen.
Marţi, 26 iunie , sens [utilizator]. La nivel de clasa a8-a propozitia era subiectiva Mult zgomot si pentru ce? Marţi, 26 iunie , Pishku [utilizator]. Dragii mei, la ce folosesc oare toate acestea? Nici unul! Nimeni nu se gindeste mai intii la regula gramaticala care trebuie utilizata si abia dupa aceea sa spuna sau sa scrie ceva. Regulile gramaticale nu sint precum legile juridice. Si atunci de ce oare se perpetueza testele capcana la nivelul liceului? Cui folosesc aceste teste-capcana?

Cine are de cistigat bani din existenta testelor-capcana? Marţi, 26 iunie , mareanV [utilizator]. Cum ramane cu cei care au raspuns corect?
Aceasta petitie va duce la alta petitie a ceror care au facut diferenta si au raspuns corect. Este adevarat ca este o intrebare dificila, tocmai in asta consta si departajarea. Hai sa cerem nepunctarea acestei intrebari pentru cei care au raspuns gresit. Marţi, 26 iunie , latka [utilizator] i-a raspuns lui mareanV. Pai tocmai asta e, ca n-au raspuns corect. Greseala apartine elaboratorilor subiectelor si nu e singura. Petitie pentru ce anume? Marţi, 26 iunie , PredaMarian [utilizator].
Daca acest subiect a meritat o petitie , imi inchipui ca limba romana a devenit o limba straina pentru multi dintre elevi. Evaluare Marţi, 26 iunie , Candidat Brasov [anonim]. Sa fie picati toti semnatarii!!!

Marţi, 26 iunie , Alui [utilizator]. E super comic ca o petitie pentru examenul la gramatica sa aiba ea insasi greseli de gramatica: Propozitia e clar subiectiva, de ce atata tam tam fara rost? Cum este corect? Marţi, 26 iunie , bilbofil [utilizator] i-a raspuns lui deceneus. Ceea ce ma deranjeaza este tu. Exercitiul 3 Marţi, 26 iunie , NuEsteCorect [utilizator].

Daca vati uitat vreodata in manualele de a8-a Pp se pune prima Nu poate fi verb predicativ Eu asa consider , si , in primul rand asa am invatat Cum ar fi sa nu va mai dati cu parerea As vrea sa stiu doar atat Subiectul 2 de la „Evaluarea nationala ” de la Limba si Literatura Romana este gresit. Este vorba despre articolul aparut in Dilematica, articol scris de Ion Vianu cu titlul „Kindle”. Textul incepe asa: „De Craciun mi-am facut cadou un e-book Cred ca am fost victima publicitatii si a usurintei cu care poti cumpara acest model.
Dar cu proxima ocazie imi voi procura dispozitivul rival Si autorul continua sa abereze pe aceasta tema Acestea e-book intr-adevar se pot cumpara, insa nu sunt dispozitive, ci fisiere electronice, adica software. Dispozitivul despre care nu stia autorul si in mod evident, nici profesorii care au propus subiectul pentru cei mici, este un e-reader, cum este Kindle care da si titlul articolului.

Desi lucrez in domeniu, sunt convins ca nu as fi reusit sa intru in barem la acest subiect din cauza ca cei care au facut subiectul habar nu aveau despre ce vorbesc. Am cautat sa vad cine este d-nul Ion Vianu si am observat ca probabil dansul a inceput sa scrie cu pana de gasca si trebuie sa recunosc ca este un progres remarcabil ca acum si-a achizitionat un Kindle, insa totusi nu este in masura sa aiba proprietatea tremenilor tehnici, de la un examen fie el si de clasa a 8-a.
Nu stiu de ce unele comentarii separa logica de gramatica. Si ma mira comentariile care sustin ca nu e nevoie de o cunoastere corecta a limbii romane limba materna. In legatura cu subiectul: cred ca, indiferent de topica in interiorul frazei sau al propozitiei, propozitia principala este „este dificultatea rasfoirii” si propozitia secundara „ceea ce ma jeneaza” reprezinta un nume predicativ, deci e predicativa.

Sunt insa de acord cu faptul ca dificultatea acestei analize sintactice este prea mare pentru varsta si cunostintele copiilor de clasa a 8-a si ca subiectul este o capcana poate greu de elucidat si pentru cei care au elaborat subiectul.
Marţi, 26 iunie , anitei [utilizator] i-a raspuns lui Leul in iarna. Mai omule, s-o luam babeste:in analiza ta ai distins bine prop. Unde-i sub. Este prop. Ia spune care-i numele predicativ aici: „Jenanta este dificultatea rasfoirii” Poti s-o iei si mosnegeste. Bravo, dar. Miercuri, 27 iunie , M4rk [utilizator] i-a raspuns lui anitei.

Cum spunea cineva mai sus Marţi, 26 iunie , manuk [utilizator] i-a raspuns lui anitei. Marţi, 26 iunie , anitei [utilizator] i-a raspuns lui manuk. Cine vorbeste de actiune, undeva? Cred ca aveti o profesie de exceptie;dar nu gramatica.
Gramatul Marţi, 26 iunie , manuk [utilizator] i-a raspuns lui anitei. Cine vorbeste de actiune?? Te citez: „nu-i sub. Imi pare rau Miercuri, 27 iunie , anitei [utilizator] i-a raspuns lui manuk. Imi pare rau ca nu intelegi nimic din gramatica.

Si olteanul, cand a vazut girafa, a sustinut ca asa ceva nu exista! N-a fost nici o dificultate. De aia se protesteaza, nu din vreun motiv ascuns. Daca se doreste ca ambele raspunsuri sa fie considerate valide atunci nici cei care au ales raspunsul subiectiva si nici cei care au raspuns predicativa nu au raspuns corect. Singurii care ar trebui punctati ar fi cei care au ales ambele variante. Abonare la comentarii cu. Facem Romania bine. Romania in Europa. Pagini de [cod]. Administratie locala. Alegeri SUA Superputerile tehnologiei.
Blogul PwC Romania. EY – Fiscalitatea la zi.

Drink Insider. Recomandare de lectura.

(PDF) MATEMATICI DISCRETE APLICATE curs | Larisa Jianu – hpv.iubescstudentia.ro

Acest curs prezinta Analiza si Sinteza Dispozitivelor Numerice. Mai jos poate fi vizualizat un extras din document aprox. Iti recomandam sa te uiti bine pe extras si pe imaginile oferite iar daca este ceea ce-ti trebuie pentru documentarea ta, il poti descarca. Transferul, prelucrarea si pastrarea datelor numerice sau nenumerice în interiorul unui calculator se realizeaza prin intermediul circuitelor de comutare. Aceste circuite se caracterizeaza prin faptul ca prezinta doua stari stabile care se deosebesc calitativ între ele. Algebra logicii opereaza cu propozitii care pot fi adevarate sau false.

O propozitie nu poate fi simultan adevarata sau falsa, iar doua propozitii sunt echivalente d. Propozitiile pot fi simple sau compuse, cele compuse obtinându-se din cele simple prin legaturi logice de tipul conjunctiei Ù, disjunctiei Fie multimea m sa se nege propozitiile sq negatiei Ø. Bazele algebrei logice au fost puse de matematicianul englez George Boole si ca urmare ea se mai numeste propozitiild algebra booleana. Ea a fost conceputa ca o metoda simbolica pentru tratarea functiilor logicii formale, dar a fost apoi dezvoltata si aplicata si în alte domenii ale matematicii. Nete Claude Shannon Fie multimea m sa se nege propozitiile folosit-o pentru prima data în analiza circuitelor de comutatie. Aceasta multime formeaza o algebra daca: În definirea axiomatica a algebrei s-au folosit diferite notatii. În tabelul urmator se dau denumirile si za specifice folosite pentru diverse domenii:
8/29/ · x + 4 Team! in.

2 O 1. Fie numereie a: Jé 4′ 3 5i b: Sa se arate ca: 2 2J5 I) media alitmetica. media arrnonica si media geomeirica a numerelor:1 si b nu suni numere iiationale: 1)) media ponderala, cu ponderile 3 si 5. a numerelor a $1 b esle numér iratiunal. O 2. Sa Se determine mulumea A: {X e l | six’ + 8x + 20 6 N1‘. Propozitiile care incepeau si se terminau cu „Manca-v-as” nu ar fi putut sa fie privite ca o amenintare decat de bietul cetatean pomenit mai devreme, care ajunsese cu telemeaua la sectie. Am stat pe coridoarele sectiei, decorate cu zvastici si urme de palme negre lasate de vizitatorii care fusesera amprentati inaintea noastra. Deja alte probleme ale vietii nu mai exista decat corona, mass-media l-a umflat cu pompa si aici nu poate nimeni s-o nege, lucrurile se complica pentru ca intervine in politica si economie, o sa apara vaccinul si poate ca usor-usor se duce nebunia, omul a trecut peste multe pandemii, o sa treaca si asta, oricine s-a saturat ca de luni sa se.

Notiuni generale despre multimi, operatii cu multimi

Cu toti vom fii infectati, uni uni vor zbura spre ceruri in schimb alti vor mai sta pe pamant, corona multjmea da aripi sa zbori spre rai. Cand va exista un vaccin si categoriile vulnerabile il vor face. Cand vor iluminatii Niciodată nu va mai fi cum a fost înainte, acest sistem de lucruri trebuie sa se mmultimea odata, bolile si epidemiile cum este aceasta au fost demult prezise de Dumnezeu in paginile Bibliei, ele bolile fac parte din semnele sfîrsitului acestei lumi. Hai maintaie din asta cu Dumnezeul tau care ne-a facut sa ne bage in iad si sa ne omoare. Peste 1 an cam asa, numai bine trece iarna, Fie multimea m sa se nege propozitiile trebuie sa mai merg prin frig pana la lucru, e bine de acasa, propozitiille termin si cursurile tot de acasa Dupa, o sa apas eu pe buton si o sa opresc pandemia. Nu se Fie multimea m sa se nege propozitiile, va mai dura cel putin 1 an muptimea, poate nu e chiar asa de nasol pe cum se zice dar mai bine iti e sanatos decat sa ai chiar si o mica raceala.

Lasă un răspuns